實數(shù)的定義及分類（實數(shù)的定義）

關于實數(shù)的定義及分類，實數(shù)的定義這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、實數(shù) 編輯實數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。

2、數(shù)學上，實數(shù)定義為與數(shù)軸上的點相對應的數(shù)。

3、實數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù)，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應。

4、但僅僅以列舉的方式不能描述實數(shù)的整體。

5、實數(shù)和虛數(shù)共同構成復數(shù)。

6、實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。

7、實數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。

8、R表示n 維實數(shù)空間。

9、實數(shù)是不可數(shù)的。

10、實數(shù)是實數(shù)理論的核心研究對象。

11、所有實數(shù)的集合則可稱為實數(shù)系（real number system）或實數(shù)連續(xù)統(tǒng)。

12、任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數(shù)系。

13、在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。

14、由于R是定義了算數(shù)運算的運算系統(tǒng)，故有實數(shù)系這個名稱。

15、實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。

16、理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。

17、在實際運用中，實數(shù)經常被近似成一個有限小數(shù)（保留小數(shù)點后 n 位，n為正整數(shù)）。

18、在計算機領域，由于計算機只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經常用浮點數(shù)來表示。

19、中文名實數(shù)外文名real number別 稱有理數(shù)和無理數(shù)的總稱表達式R提出者德國數(shù)學家康托爾提出時間1871年應用學科數(shù)學包含數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)目錄1 歷史2 幾何3 性質歷史編輯在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數(shù)學家們認識到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身并不承認無理數(shù)的存在。

20、 直到17世紀，實數(shù)才在歐洲被廣泛接受。

21、18世紀，微積分學在實數(shù)的基礎上發(fā)展起來。

22、1871年，德國數(shù)學家康托爾第一次提出了實數(shù)的嚴格定義。

23、根據(jù)日常經驗，有理數(shù)集在數(shù)軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認為用有理數(shù)即能滿足測量上的實際需要。

24、以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規(guī)定的精度下（比如誤差小于0.001厘米），總可以用有理數(shù)來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

25、但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，只使用有理數(shù)無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數(shù)學理念；他們原以為：任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數(shù)的比來表示。

26、正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有“萬物皆數(shù)”的信念，這里的數(shù)是指自然數(shù)（1 , 2 , 3 ，...），而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù)，而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實，對當時很多數(shù)學家來說可謂極大的打擊；見第一次數(shù)學危機。

27、從古希臘一直到17世紀，數(shù)學家們才慢慢接受無理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù)；后來有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱作“實數(shù)”，意即“實在的數(shù)”。

28、在當時，盡管虛數(shù)已經出現(xiàn)并廣為使用，實數(shù)的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數(shù)進行了嚴格處理。

29、幾何編輯從有理數(shù)構造實數(shù)實數(shù)可以用通過收斂于一個唯一實數(shù)的十進制或二進制展開。

30、如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數(shù)的補全。

31、實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構造出來。

32、這里給出其中一種，其他方法請詳見實數(shù)的構造。

33、公理的方法設 R 是所有實數(shù)的集合，則：Ⅰ 集合R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。

34、Ⅱ 域 R 是個有序域，即存在全序關系≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z：Ⅲ 若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z；Ⅳ 若 x ≥ 0 且y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

35、Ⅴ 集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有非空子集S，即S∈R，S≠?，若 S 在 R 內有上界，那么 S 在 R 內有上確界。

36、最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關鍵。

37、例如對于所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合，它在有理數(shù)集內有上界，例如1.5；但在有理數(shù)集內無上確界（因為 不是有理數(shù)）。

38、實數(shù)通過上述性質唯一確定。

39、更準確的說，給定任意兩個有序域 和 ，存在從 到 的唯一的域同構，即結構上兩者可看作是相同的。

40、性質編輯基本運算實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數(shù)（即正數(shù)和0）還可以進行開方運算。

41、實數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結果還是實數(shù)。

42、任何實數(shù)都可以開奇次方，結果仍是實數(shù)，只有非負實數(shù)，才能開偶次方其結果還是實數(shù)。

43、四則運算封閉性實數(shù)集R對加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是實數(shù)。

44、有序性實數(shù)集是有序的，即任意兩個實數(shù)a、b必定滿足并且只滿足下列三個關系之一：ab。

45、傳遞性實數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b，且b>c，則有a>c。

46、阿基米德性質實數(shù)具有阿基米德性質（Archimedean property），即?a，b ∈R，若a>0，則?正整數(shù)n，na>b。

47、稠密性實數(shù)集R具有稠密性，即兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).數(shù)軸如果在一條直線（通常為水平直線）上確定O作為原點，指定一個方向為正方向（通常把指向右的方向規(guī)定為正方向），并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。

48、任一實數(shù)都對應與數(shù)軸上的唯一一個點；反之，數(shù)軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數(shù)。

49、于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應的關系。

50、完備性作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質：一. 所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。

51、有理數(shù)集合就不是完備空間。

52、例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。

53、實際上，它有個實數(shù)極限 。

54、實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構造實數(shù)集合的一種方法。

55、極限的存在是微積分的基礎。

56、實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

57、二. “完備的有序域”實數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

58、首先，有序域可以是完備格。

59、然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會是完備格。

60、這是由于有序域沒有最大元素（對任意元素z，z+1將更大）。

61、所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

62、另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。

63、上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。

64、這個完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過標準的方法建立戴德金完備性。

65、這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。

66、然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。

67、上述完備性中所述的只是一個特例。

68、（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實數(shù)的性質。

69、）當然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。

70、實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。

71、可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。

72、這個完備性的意思非常接近采用柯西序列來構造實數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過標準的方法建立一致完備性。

73、“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同于上述的意思。

74、他認為，實數(shù)構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。

75、這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。

76、這個完備性的意思非常接近用超實數(shù)來構造實數(shù)的方法，即從某個包含所有（超實數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

77、高級性質實數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實數(shù)的個數(shù)嚴格多于自然數(shù)的個數(shù)（盡管兩者都是無窮大）。

78、這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。

79、實際上，實數(shù)集的勢為 2ω（請參見連續(xù)統(tǒng)的勢），即自然數(shù)集的冪集的勢。

80、由于實數(shù)集中只有可數(shù)集個數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實數(shù)是超越數(shù)。

81、實數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴格大于自然數(shù)集的勢且嚴格小于實數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設。

82、事實上這假設獨立于ZFC集合論，在ZFC集合論內既不能證明它，也不能推出其否定。

83、所有非負實數(shù)的平方根屬于R，但這對負數(shù)不成立。

84、這表明R 上的序是由其代數(shù)結構確定的。

85、而且，所有奇數(shù)次多項式至少有一個根屬于 R。

86、這兩個性質使R成為實封閉域的最主要的實例。

87、證明這一點就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

88、實數(shù)集擁有一個規(guī)范的測度，即勒貝格測度。

89、實數(shù)集的上確界公理用到了實數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。

90、不可能只采用一階邏輯來刻畫實數(shù)集：1. L?wenheim–Skolem theorem定理說明，存在一個實數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數(shù)集自身完全相同的命題；2. 超實數(shù)的集合遠遠大于 R，但也同樣滿足和 R一樣的一階邏輯命題。

91、滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。

92、這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在R中證明要簡單一些），從而確定這些命題在R 中也成立。

93、拓撲性質實數(shù)集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。

94、作為一個全序集，它也具有序拓撲。

95、這里，從度量和序關系得到的拓撲相同。

96、實數(shù)集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。

97、但實數(shù)集不是緊致空間。

98、這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓撲必須和實數(shù)集同胚。

99、以下是實數(shù)的拓撲性質總覽：i.令a 為一實數(shù)。

100、a 的鄰域是實數(shù)集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

101、ii.R 是可分空間。

102、iii.Q 在 R 中處處稠密。

103、iv.R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。

104、v.R的緊子集是有界閉集。

105、特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。

106、vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。

107、vii.R是連通且單連通的。

108、viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。

109、由此性質可迅速導出中間值定理。

110、望采納，謝謝。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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