關(guān)于第二次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)是什么,第二次數(shù)學(xué)危機是什么這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!
1、第二次數(shù)學(xué)危機 第二次數(shù)學(xué)危機早在古代,人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。
2、古希臘的歐多克斯引入量的觀念來考慮連續(xù)變動的東西,并完全依據(jù)幾何來嚴(yán)格處理連續(xù)量。
3、這造成數(shù)與量的長期脫離。
4、古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外,并沒有無理數(shù)的概念,連有理數(shù)的運算也沒有,可是卻有量的比例。
5、他們對于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣,尤其是芝諾提出的四個著名的悖論:第一個悖論是說運動不存在,理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路,而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去,它必須通過無限多個點,這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。
6、第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。
7、因為烏龜在他前面時,他必須首先到達烏龜?shù)钠瘘c,然后用第一個悖論的邏輯,烏龜者在他的前面。
8、這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。
9、而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。
10、第三個悖論是說“飛矢不動”,因為在某一時問間隔,飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上,因而是靜止的。
11、第四個悖論是游行隊伍悖論,內(nèi)容大體相似。
12、這說明希臘人已經(jīng)看到無窮小與“很小很小”的矛盾。
13、當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。
14、希臘人雖然沒有明確的極限概念,但他們在處理面積體積的問題時,卻有嚴(yán)格的逼近步驟,這就是所謂“窮竭法”。
15、它依靠間接的證明方法,證明了許多重要而難證的定理。
16、到了十六、十七世紀(jì),除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外,還產(chǎn)生了許多新問題,如求速度、求切線,以及求極大、極小值等問題。
17、經(jīng)過許多人多年的努力,終于在十七世紀(jì)晚期,形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科,這也就是數(shù)學(xué)分析的開端。
18、牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者。
19、他們的功績主要在于:1,把各種問題的解法統(tǒng)一成一種方法,微分法和積分法;2,有明確的計算微分法的步驟;3.微分法和積分法互為逆運算。
20、由于運算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性,使微積分成為解決問題的重要工具。
21、同時關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。
22、以求速度為例,瞬時速度是δs/δt當(dāng)δt趨向于零時的值。
23、δt是零、是很小的量,還是什么東西,這個無窮小量究竟是不是零。
24、這引起了極大的爭論,從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機。
25、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實際問題,因此有些人就對這些基礎(chǔ)問題的討論不感興趣。
26、如達朗貝爾就說,現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些,而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。
27、更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。
28、但也因此,微積分的基礎(chǔ)問題一直受到一些人的批判和攻擊,其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。
29、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強調(diào)形式的計算,而不管基礎(chǔ)的可靠與否,其中特別是:沒有清楚的無窮小概念,因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚;對無窮大的概念也不清楚;發(fā)散級數(shù)求和的任意性;符號使用的不嚴(yán)格性;不考慮連續(xù)性就進行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。
30、一直到十九世紀(jì)二十年代,一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。
31、它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始,最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成,中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì),基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
32、波爾查諾不承認(rèn)無窮小數(shù)和無窮大數(shù)的存在,而且給出了連續(xù)性的正確定義。
33、柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始,認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達式。
34、他抓住了極限的概念,指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量,并定義了導(dǎo)數(shù)和積分;阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和;狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。
35、在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上,維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方,給出現(xiàn)在通用的ε - δ的極限、連續(xù)定義,并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上,從而克服了危機和矛盾。
36、十九世紀(jì)七十年代初,威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數(shù)理論,而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上,建立起極限論的基本定理,從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。
37、同時,威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。
38、這個發(fā)現(xiàn)以及后來許多病態(tài)函數(shù)的例子,充分說明了直觀及幾何的思考不可靠,而必須訴諸嚴(yán)格的概念及推理。
39、由此,第二次數(shù)學(xué)危機使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)——實數(shù)論的問題。
40、這不僅導(dǎo)致集合論的誕生,并且由此把數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸結(jié)為實數(shù)論的無矛盾性問題,而這正是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的首要問題。
本文分享完畢,希望對大家有所幫助。
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