01背包問題可以用哪些方法（0 1背包問題）

關(guān)于01背包問題可以用哪些方法，0 1背包問題這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、"P01: 01背包問題題目有N件物品和1個容量為V的背包。

2、第i件物品的費(fèi)用是c[i]，價值是w[i]。

3、求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

4、基本思路這是最基礎(chǔ)的背包問題，特點(diǎn)是：每種物品僅有一件，可以選取放或不放。

5、用子問題定義狀態(tài)：即f[i][v]表示前i件物品恰放入1個容量為v的背包可以獲得的最大價值。

6、則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}這個方程非常重要，基本上全部跟背包相關(guān)的問題的方程都是由它衍生出來的。

7、因此有必要將它清楚解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉(zhuǎn)化為1個只牽扯前i-1件物品的問題。

8、假如不放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價值為f[i-1][v]；假如放第i件物品，那么問題就轉(zhuǎn)化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

9、優(yōu)化空間復(fù)雜度以上方法的時間和空間復(fù)雜度均為O(N*V)，其中時間復(fù)雜度基本已經(jīng)不能再優(yōu)化了，但空間復(fù)雜度卻可以優(yōu)化到O(V)。

10、先考慮上邊講的基本思路怎么實(shí)現(xiàn)，肯定是有1個主循環(huán)i=1..N，每回算出來二維數(shù)組f[i][0..V]的全部值。

11、那么，假如只用1個數(shù)組f[0..V]，能不能保證第i次循環(huán)結(jié)束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態(tài)f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]2個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環(huán)中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實(shí)上，這要求在每回主循環(huán)中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才可以保證推f[v]時f[v-c[i]]保存的是狀態(tài)f[i-1][v-c[i]]的值。

12、偽代碼如下：for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相當(dāng)于我們的轉(zhuǎn)移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，由于目前的f[v-c[i]]就相當(dāng)于原來的f[i-1][v-c[i]]。

13、假如將v的循環(huán)順序從上邊的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另1個重要的背包問題P02最簡捷的處理方案，故學(xué)習(xí)只用一維數(shù)組解01背包問題是十分必要的。

14、事實(shí)上，用一維數(shù)組解01背包的程序在后面會被多次用到，因此這里抽象出1個處理一件01背包中的物品過程，以后的代碼中直接調(diào)出使用不加說明。

15、過程ZeroOnePack，表示處理一件01背包中的物品，2個參數(shù)cost、weight分別表明這件物品的費(fèi)用和價值。

16、procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}注意這個過程里的處理與前面給出的偽代碼有所不一樣。

17、前面的示例程序?qū)懗蓈=V..0是為了在程序中體現(xiàn)每一個狀態(tài)都按照方程求解了，避免不必要的思維復(fù)雜度。

18、而這里既然已經(jīng)抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優(yōu)化。

19、費(fèi)用為cost的物品不會影響狀態(tài)f[0..cost-1]，這是顯然的。

20、有了這個過程以后，01背包問題的偽代碼就可以這樣寫：for i=1..N ZeroOnePack(c[i],w[i]);初始化的細(xì)節(jié)問題我們看見的求最優(yōu)解的背包問題題目中，事實(shí)上有兩種不太相同的問法。

21、有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優(yōu)解，有的題目則并木有要求必須把背包裝滿。

22、一種區(qū)別這兩種問法的實(shí)現(xiàn)方法是在初始化的時候有所不一樣。

23、假如是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設(shè)為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優(yōu)解。

24、假如并木有要求必須把背包裝滿，而是只期望價錢盡量大，初始化時應(yīng)當(dāng)將f[0..V]全部設(shè)為0。

25、為啥呢？可以這樣理解：初始化的f數(shù)組事實(shí)上就是在木有任何物品可以放入背包時的合法狀態(tài)。

26、假如要求背包恰好裝滿，那么此時僅有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均木有合法的解，屬于未定義的狀態(tài)，它們的值就都應(yīng)當(dāng)是-∞了。

27、假如背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有1個合法解“啥都不裝”，這個解的價值為0，因此初始時狀態(tài)的值也就全部為0了。

28、這個小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前的初始化進(jìn)行講解。

29、小結(jié)01背包問題是最基本的背包問題，它包含了背包問題中設(shè)計(jì)狀態(tài)、方程的最基本思想，另外，別的類型的背包問題往往也可以轉(zhuǎn)換成01背包問題求解。

30、故一定要仔細(xì)體會上邊基本思路的得出方法，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的意義，以及最后怎樣優(yōu)化的空間復(fù)雜度。

31、"。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

標(biāo)簽：