所有三角形的性質(zhì)及判定都有哪些（所有三角形的所有性質(zhì)）

關(guān)于所有三角形的性質(zhì)及判定都有哪些，所有三角形的所有性質(zhì)這個(gè)問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、三角形的性質(zhì) 1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。

2、 2.三角形內(nèi)角和等于180度 3.等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合一。

3、 4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。

4、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

5、 5.三角形共有六心：三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、歐拉線 內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。

6、 性質(zhì)：到三邊距離相等。

7、 外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。

8、 性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。

9、 重心：三條中線的交點(diǎn)。

10、 性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對邊中點(diǎn)距離的2倍。

11、 垂心：三條高所在直線的交點(diǎn)。

12、 性質(zhì)：此點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積 旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 性質(zhì)：到三邊的距離相等。

13、 界心：經(jīng)過三角形一頂點(diǎn)的把三角形周長分成1：1的直線與三角形一邊的交點(diǎn)。

14、 性質(zhì)：三角形共有3個(gè)界心，三個(gè)界心分別與其對應(yīng)的三角形頂點(diǎn)相連而成的三條直線交于一點(diǎn)。

15、 歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

16、 6.三角形的外角（三角形內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角）等于與其不相鄰的內(nèi)角之和。

17、 7.一個(gè)三角形最少有2個(gè)銳角。

18、 8.三角形的角平分線:三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線 9.等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊。

19、 10.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關(guān)系那么a2+b2=c2 那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形。

20、三角形的邊角之間的關(guān)系 （1）三角形三內(nèi)角和等于180°； （2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和； （3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角； （4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （5）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊. （6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線. （7）三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等. （8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. （9）三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍。

21、 （10）三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

22、 （11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。

23、 注意：①三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 .②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

24、 ③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。

25、（直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。

26、）④銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。

27、特殊三角形 1.相似三角形 （1）形狀相同但大小不同的兩個(gè)三角形叫做相似三角形 （2）相似三角形性質(zhì) 相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等 相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比 相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方 相似三角形對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）相等 （3）相似三角形的判定 【1】三邊對應(yīng)成比例則這兩個(gè)三角形相似 【2】兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，則兩三角形相似 【3】兩角對應(yīng)相等則兩三角形相似 2.全等三角形 （1）能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性質(zhì)。

28、 全等三角形對應(yīng)角（邊）相等。

29、 全等三角形的對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）相等、周長相等、面積相等。

30、 （3）全等三角形的判定 ① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形) 3.等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì)： （1）兩底角相等； （2）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合； 等腰三角形的判定： （1）等角對等邊； （2）兩底角相等； 4.等邊三角形 等邊三角形的性質(zhì)： （1）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合； （2）等邊三角形的各角都相等，并且都等于60°。

31、 等邊三角形的判定： （1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； （2）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.三角形的面積公式 (1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所對應(yīng)的高） (2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三個(gè)角為∠A∠B∠C，對邊分別為a,b,c，參見三角函數(shù)） (3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕 【s=1/2(a+b+c)】 (4)S△=abc/（4R）【R是外接圓半徑】 (5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是內(nèi)切圓半徑】 (6) | a b 1 | S△=1/2 * | c d 1 | | e f 1 | 【| a b 1 | | c d 1 | 為三階行列式,此三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(a,b),B(c,d), C(e,f),這里ABC | e f 1 | 選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開始取，因?yàn)檫@樣取得出的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個(gè)規(guī)則取，可能會得到負(fù)值，但不要緊，只要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大??！】生活中的三角形物品 雨傘、帽子、彩旗、燈罩、風(fēng)帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚的邊緣線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、寶塔、金字塔、三角內(nèi)褲、機(jī)器上用的三角鐵、某些路標(biāo)、長江三角洲、斜拉橋等。

32、 三角形全等的條件 注意:只有三個(gè)角相等無法推出兩個(gè)三角形全等 （1）三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡寫為“SSS”。

33、 （2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“ASA”。

34、 （3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“AAS”。

35、 （4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“SAS”。

36、 （5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“HL”。

37、 全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊也相等。

38、三角形中的線段 中線：頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線，平分三角形。

39、 高：頂點(diǎn)到對邊垂足的連線。

40、 角平分線：頂點(diǎn)到兩邊距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的直線。

41、 中位線：任意兩邊中點(diǎn)的連線。

42、三角形相關(guān)定理 重心定理 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍． 上述交點(diǎn)叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)． 這點(diǎn)叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三條高交于一點(diǎn)． 這點(diǎn)叫做三角形的垂心. 內(nèi)心定理 三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)． 這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心. 旁心定理 三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)． 這點(diǎn)叫做三角形的旁心．三角形有三個(gè)旁心． 三角形的重心、外心、垂心、內(nèi)心、旁心稱為三角形的五心． 它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn)． 中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 三邊關(guān)系定理 三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． 勾股定理 在Rt三角形ABC中，A≤90度，則 AB·AB+AC·AC=BC·BC A〉90度，則 AB·AB+AC·AC>BC·BC 梅涅勞斯定理 梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。

43、它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

44、 證明： 過點(diǎn)A作AG‖BC交DF的延長線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

45、 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。

46、利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。

47、 塞瓦定理 設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)， AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 證法簡介 （Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 （Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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