柯西判定（什么是柯西準(zhǔn)則）

大家好，萱萱來為大家解答以下的問題，關(guān)于柯西判定，什么是柯西準(zhǔn)則這個很多人還不知道,那么現(xiàn)在讓我?guī)е蠹乙黄饋砜纯窗桑?/p>

柯西準(zhǔn)則：在大于某個特定的項(xiàng)數(shù)n之后，任選兩個項(xiàng)的絕對值總會小于一個數(shù)(該數(shù)值不確定，但恒大于零)，則這個數(shù)列就是基本數(shù)列(收斂數(shù)列)。

數(shù)列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n > N時(shí)，且m≠n，有我們把滿足該條件的{x}稱為柯西序列，那么上述定理可表述成：數(shù)列{x}收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個柯西序列。

該準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列{x}收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近，即足夠靠后的任意兩項(xiàng)都無限接近。

擴(kuò)展資料：柯西準(zhǔn)則證明必要性設(shè)?，則?，當(dāng)m,n>N時(shí)，有那么，2、充分性由于數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則是實(shí)數(shù)連續(xù)性的體現(xiàn)之一，所以用實(shí)數(shù)公理——戴德金定理證明{xn}收斂。

首先證明柯西序列是有界的。

根據(jù)柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，則當(dāng)n>N時(shí)，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-εN時(shí)，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述數(shù)列中添加{xn}的前N項(xiàng)得到{xn}本身，則由于前N項(xiàng)都是確定的實(shí)數(shù)，不會改變{xn}的有界性（即使此時(shí){xn}的上、下界發(fā)生變化）。

故對任意正整數(shù)n，{xn}都是有界的。

其次證明柯西序列收斂。

設(shè){xn}?[a,b]，有一個實(shí)數(shù)集A，A中的任一元素c滿足：區(qū)間(-∞,c)中最多有{xn}中的有限項(xiàng)（注意用詞“最多”，意味著可以有0項(xiàng)），而{xn}中的無限項(xiàng)都落在[c,+∞)。

并把A在R中的補(bǔ)集設(shè)為B，則：①由取法可知a∈A，并且顯然b∈B。

即A和B都是非空數(shù)集。

②A∪B=R。

③根據(jù)集合A、B的定義，A中任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一實(shí)數(shù)η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。

因?yàn)棣鞘茿和B的分界點(diǎn)所以④由A的定義可知，?根據(jù)已知條件，當(dāng)m,n>N時(shí)，|xn-xm|<ε于是xm-ε

聯(lián)立④中的不等式，可得到η-2ε

也就是當(dāng)n>N時(shí)，不等式|xn-η|<2ε成立所以參考資料來源：百度百科-柯西極限存在準(zhǔn)則。

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標(biāo)簽： 什么是柯西準(zhǔn)則